写在开头：这个系列主要记录一下个人学习博弈论时接触到的一些知识点，和一些有意思的game与现象，整体上并不保证连贯性。
五个入门结论：从与同桌的第一次博弈开始
假设你和同桌的成绩是由下面这个游戏的结果来决定的：
假设每个人都有两种选择： $\alpha$ 和 $\beta$ ，且当你们都选择 $\alpha$ 时可以一起拿到成绩B-；当你选择 $\alpha$ 并且你的同桌选择 $\beta$ 时，你可以获得A，而你的同桌只能获得C（如果选择相反则成绩相反）；如果你们都选择 $\beta$ ，则成绩都为B+。那么你会选择 $\alpha$ 还是 $\beta$ 呢？
上面的游戏可以用一个结果矩阵（Outcome Matrix）来表示：
如果再将上面的成绩转换成数值：
是不是看着清楚多了。那么这时你会选择 $\alpha$ 还是 $\beta$ 呢？
思考一下……
OK，公布答案：如果只为了自己的成绩考虑，那么你应该选择 $\alpha$ ，而不是 $\beta$ 。为什么呢？因为如果你选择 $\beta$ ，那么无论你的对手选择 $\alpha$ 还是 $\beta$ ，你的结果都不会比你选择 $\alpha$ 时更好，即所谓的strictly dominated。
定义：如果无论对方采用何种策略，策略 $\alpha$ 带给我的收益都严格大于策略 $\beta$ ，那么我们可以说策略 $\alpha$ 严格优势于（strictly dominates）策略 $\beta$ 。从另一个角度，我们也可以说策略 $\beta$ 严格劣势于（strictly dominated） 策略 $\alpha$ 。
两条定理：
- 定理一：不要采用严格劣势策略
- 定理二：理性的选择也可能会带来不太好的结果（如果大家都选 $\alpha$ 那么收益都是0）
假设有某种人（称为愤怒天使），他们会因为让别的了C而觉得愧疚，同时也会因为自己得了C而更加难过，则结果矩阵会发生改变：
由此我们可以得到定理三：你只有先明白想要什么，才有可能得到它。
假设我们把拥有一开始的结果矩阵的人群叫饭桶恶魔（evil git），那么设想下面这个更复杂的博弈场景：如果你是一个饭桶恶魔，且你知道你的对手是愤怒天使，那么你该怎么做？
首先当然是画出结果矩阵：
可见策略 $\alpha$ 依旧是严格优势策略。如果你们的角色对调，则结果矩阵为：
这时无论是 $\alpha$ 还是 $\beta$ 都不是严格优势策略。那是否你就可以选 $\beta$ 了呢？答案是否。因为对你的对手而言，策略 $\alpha$ 仍然是严格优势策略，因此我们需要假设对手会选择策略 $\alpha$ 。由此可以进一步得到定理四：学会换位思考，看看你的对手会做什么。
小结一下：
- 定理一：不要采用严格劣势策略
- 定理二：理性的选择也可能会带来不太好的结果（如果大家都选 $\alpha$ 那么收益都是0）
- 定理三：你只有先明白想要什么，才有可能得到它
- 定理四：学会换位思考，看看你的对手会做什么
学会换位思考
博弈中的几个要素
玩家（player）：用符号 $i$ 或 $j$ 表示。
策略（strategy）： $s_i$ 表示用户 $i$ 的一个策略； $S_i$ 表示用户 $i$ 所有可能的策略； $s$ 表示某次具体的博弈，我们也把它叫做一个策略组合（strategy profile），或者策略向量/列表。另外，我们把 $s_{-i}$ 看做是除了 $i$ 以外其他人的策略组合。
收益（payoffs）： $u_{i}(s_1,…,s_i,…,s_N)$ 表示玩家 $i$ 在某个策略组合条件下的收益，因此也可以表示为 $u_i(s)$ ，或者 $u_i(s_i,s_{-i})$ 。
在之后的课程中会先假设以上三点对于所有人都是可知的，我们将在最后一节课推翻它。
数学化定义
之前提到的严格优势策略如果采用上面的符号可以表示为：
对于玩家 $i$ ，如果所有 $s_{-i}$ 都满足 $u_i(s_i,s_{-i}) > u_i(s’_i,s_{-i}) $，那么我们可以说的策略 $s’_{i}$ 严格优于 策略 $s_{i}$ 。
类似的，我们可以定义：玩家 $i$ 的策略 $s’_{i}$ 微弱优于（weakly dominates） 策略 $s_{i}$ ，如果对于所有 $s_{-i}$ 都满足 $u_i(s_i,s_{-i}) \ge u_i(s’_i,s_{-i})$ 并且对于某些 $s_{-i}$ 满足 $u_i(s_i,s_{-i}) > u_i(s’_i,s_{-i})$ 。
游戏时间
下面这个游戏可以很好地解释严格优势策略和换位思考的重要性。
假设每个人可以从1到100之间挑选任意一个整数作为答案提交，最终的获胜条件是尽可能接近所有提交结果的平均数的2/3，那么你会作何选择呢？
由于我们知道所有提交结果的平均数不会超过100，因此平均数的2/3也不会超过68。这意味着68-100之间的所有数字都是严格劣势策略，且不应被选择。剔除掉这些数之后，我们会进一步发现：当只能选择1-67时，比67的2/3 —— 也就是45大的数字也变成了严格劣势策略。如此不断迭代，最终的结果会趋近于1，即「正确答案」应该是1。
然而事实上，在耶鲁课堂测试中最后的获胜数字是9，而不是1。这就引出了一个重要概念 —— 共识（common knowledge）。尽管说所有人进行理性的结果会使获胜数字为1，但实际上一部分人并没有这么理性，而另一部分人并不确定有多少人的决策是理性的，也就是说博弈的玩家之间并没有形成共识。这里的共识指的是某个知识不仅被所有玩家认可，并且玩家之间也清楚对方也是认可的，同时玩家之间也清楚他们都各自清楚对方是认可的（无限套娃）。就好比说两个人各戴一顶帽子（假设都是粉色的），并且只能看到对方的帽子颜色而不知道自己的，那么此时“至少有一个人头戴粉色帽子”就不能算是两人的共识，因为他们只知道至少有一个人戴了粉色帽子，而不确定对方是否也知道。不得不说，这确实是一个很有意思的游戏。
